数据分析 36 计（4）：互联网广告渠道归因分析之 Shapley Value

图1 各渠道组合的投放效果

下面，我们来计算，每一个渠道的夏普里值，夏普里值的定义：是在各种可能的联盟次序下，参与者对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合。三个渠道一共有 $3!$，即 6 种可能联盟次序：

• A 投放后接着投放 B 形成方案 S，B 投放后接着投放 C 形成方案 S，即 A→B→C
• A 投放后接着投放 C 形成方案 S，C 投放后接着投放 B 形成方案 S，即 A→C→B
• B 投放后接着投放 A 形成方案 S，A 投放后接着投放 C 形成方案 S，即 B→A→C
• B 投放后接着投放 C 形成方案 S，C 投放后接着投放 A 形成方案 S，即 B→C→A
• C 投放后接着投放 A 形成方案 S，A 投放后接着投放 B 形成方案 S，即 C→A→B
• C 投放后接着投放 B 形成方案 S，B 投放后接着投放 A 形成方案 S，即 C→B→A

对于每一种合作的方式, 我们考虑他们的边际收益, 即某个渠道加入方案执行前后的收益变化。对于每个渠道的贡献度的计算过程如下所示, 我们只是改变了加入的顺序而已。

图2 每个渠道的贡献度的计算过程

因此，信息流 A 的 Shapley value 为 34.17，开屏 B 的 Shapley value 为 41.67，视频前贴 C 的 Shapley value 为 24.17。

上面是直接用 Shapley value 的原理来进行计算，下面我们直接的式子来计算某渠道 $i$ 加入方案集合 S 后的边际贡献, 我们需要罗列出 S 所有的可能性。

$$\varphi_i(\nu)=\sum_{S \subseteq N \setminus \{i\} } \frac{|S|!(|N|-|S|-1)!}{N!} (\nu(S \cup \{i\})-\nu(S)) $$

我们说一下具体的例子, 比如说我们要计算渠道 A 的贡献值, 那么所有 S 可能的集合有:

• S 为空集，即最先投放渠道 A
• S 中只有一个元素, 可以是 B, 或是 C，即第二投放渠道 A
• S 中有两个元素, 可以是 B+C，即第三投放渠道 A

计算 A 的贡献度时，S 集合共有 5 种可能性。我们要分别计算着 5 种情况下的边际收益(我们需要注意到的是, 这 5 种情况不是等可能出现的)。$|S|!$ 为投放在 A 前面的渠道顺序的排列组合，$(|F|-|S|-1)!$ 为投放在 A 后面的渠道顺序排列组合。$|F|!$ 为所有投放顺序的排列组合，即 $|F|!=3!=6$。

那么，当 S 为空集时，即最先投放 A，有：

$$\varphi_{A1}=\frac{0!(3-0-1)!}{3!}[\nu(A)]=3.33$$

S 中只有一个元素, 可以是 B , 或是 C，即第二投放渠道 A，有：

$$\varphi_{A2}=\frac{1!(3-1-1)!}{3!}[\nu(A,B)-\nu(B)+\nu(A,C)-\nu(C)]=9.17$$

S 中有两个元素, 可以是 B+C，即第三投放渠道 A，有：

$$\varphi_{A3}=\frac{2!(3-2-1)!}{3!}[\nu(A,B,C)-\nu(B,C)]=21.67$$

那么 A 的贡献度为 34.17,和上面结论一致。

$$\varphi_{A}=\varphi_{A1}+\varphi_{A2}+\varphi_{A3}=34.17$$

通过上面的例子，公式现在就很好解释了，首先是最先投放 A，那么 A 的贡献度肯定等于单独投放 A 的效果，再计算最先投放 A 的概率，即 1/3（因为 Shapley Value 假设的是随机投放每个渠道的概率相等，所以可以使用排列组合计算概率。）；然后是第二顺序投放 A，那么第一顺序投放 B 的概率为 1/6，那么 A 的贡献度肯定等于同时投放 AB 的效果减去单独投放 B 的效果，即 A 的贡献度为投放 AB 时在 B 基础上的增量( C 同理)；最后第三顺序投放 A，那么前面有 BC 和 CB 两种，那么这种情况出现的概率为 1/3，那么 A 的贡献度肯定等于同时投放 ABC 的效果减去同时投放 BC 的效果。最后将三种情况合计起来即可得到 A 的贡献度。